Le krigeage :
estimer, et mesurer son incertitude

Un dispositif d'enquête couvre rarement l'ensemble d'un territoire. Quelques dizaines de points de mesure sont répartis sur des milliers de kilomètres carrés, et la question se pose immédiatement : que peut-on affirmer de la valeur de l'indicateur entre ces points, là où personne n'est passé ?

Deux réponses fréquentes présentent des faiblesses connues. La moyenne par unité administrative lisse des écarts internes parfois considérables et suppose une homogénéité rarement vérifiée. L'interpolation par pondération inverse de la distance (IDW), plus fine, repose sur un paramètre choisi de façon arbitraire et ne fournit aucune indication sur la fiabilité de ses estimations.

Le krigeage, formalisé par Georges Matheron à partir des travaux miniers de Danie Krige (Krige, 1951) (Matheron, 1963), propose une alternative dont l'intérêt principal réside moins dans la qualité de la prédiction que dans la quantification explicite de son incertitude.

1. Le variogramme : décrire la structure avant de prédire

Le krigeage se distingue des interpolateurs déterministes en ce qu'il commence par estimer la structure spatiale de la variable plutôt que de la postuler. Cette étape repose sur le variogramme expérimental, qui représente la semi-variance entre paires de points en fonction de la distance qui les sépare. La dissemblance croît généralement avec la distance, puis se stabilise.

Trois paramètres résument cette courbe. La portée correspond à la distance au-delà de laquelle deux mesures ne sont plus corrélées. Le palier est la variance atteinte à cette distance. L'effet de pépite désigne la discontinuité à l'origine, attribuable à la variabilité à très courte distance et aux erreurs de mesure. Un modèle théorique — sphérique, exponentiel ou gaussien — est ajusté à ce nuage de points, et c'est ce modèle qui déterminera les pondérations (Oliver & Webster, 2014).

2. La prédiction et sa variance

Une fois le modèle de variogramme retenu, le krigeage ordinaire estime la valeur en tout point non échantillonné comme une combinaison linéaire des observations voisines. Les pondérations sont déterminées de façon à minimiser la variance de l'erreur d'estimation sous contrainte de non-biais — d'où la qualification de « meilleur prédicteur linéaire non biaisé » (Cressie, 1993).

Le second livrable est celui qui distingue véritablement la méthode : la variance de krigeage. Calculée en chaque point, elle produit une carte d'incertitude dont la lecture est directe — l'erreur d'estimation attendue est faible à proximité des points de mesure et augmente à mesure que l'on s'en éloigne.

Cette carte a une portée opérationnelle immédiate. Elle indique où les résultats peuvent être communiqués avec confiance, et où une campagne de mesure complémentaire apporterait le plus d'information. La conception d'un plan d'échantillonnage devient alors itérative et fondée sur un critère explicite (Goovaerts, 1997).

3. Hypothèses et limites

Le krigeage ordinaire repose sur des hypothèses qu'il convient de vérifier plutôt que de présumer.

• Stationnarité. La méthode suppose que la structure spatiale est comparable sur l'ensemble du domaine. En présence d'une tendance marquée — un gradient altitudinal, par exemple — le krigeage universel ou le krigeage avec dérive externe sont plus appropriés.
• Distribution. Des valeurs fortement asymétriques dégradent l'ajustement du variogramme. Une transformation préalable, logarithmique ou par anamorphose gaussienne, est alors nécessaire, avec les précautions qu'impose la transformation inverse.
• Lissage. Comme tout estimateur minimisant la variance d'erreur, le krigeage atténue les extrêmes. Lorsque la variabilité elle-même constitue l'objet d'intérêt, les simulations géostatistiques conditionnelles sont préférables à l'estimation.
• Support des données. Interpoler des indicateurs issus d'enquêtes par grappes suppose que la valeur ponctuelle a un sens à l'échelle où elle est prédite ; cette hypothèse n'est pas toujours défendable.

4. Validation

La validation croisée par exclusion successive constitue le contrôle minimal : chaque observation est retirée à tour de rôle, prédite à partir des autres, et l'écart est enregistré. Deux quantités méritent examen — l'erreur quadratique moyenne, qui mesure la justesse, et l'erreur standardisée, dont l'écart-type devrait avoisiner l'unité si la variance de krigeage est correctement calibrée. Une erreur standardisée systématiquement supérieure à 1 signale une sous-estimation de l'incertitude.

Un modèle spatial utile ne se contente pas de produire une surface continue. Il indique où sa propre estimation est fragile — et cette information oriente souvent davantage les décisions que la carte de valeurs elle-même.

Merveille Aganze Sami

Conseillère MEL & Gestion de Bases de Données. Plus de 9 ans d'expérience en suivi-évaluation, SIG et digitalisation auprès d'organisations internationales (GIZ, Enabel) en RD Congo.

LinkedIn Me contacter